关于傅里叶级数的贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式

在书上讲关于傅里叶级数的均方逼近和误差的相关部分中，对于贝塞尔不等式和帕塞瓦尔等式的描述非常少，而且完全一样，自己直接就看懵了。网上找到的相关资料过于高级，超出大一的范围。还是问老师靠谱。

贝塞尔不等式的条件

 设\(f(x)\)在\([-\pi,\pi]\)上黎曼可积，则其傅里叶系数满足下列不等式： \[ \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\le \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx \]

帕塞瓦尔等式

 帕塞瓦尔等式即上面的式子将不等号改为等号。（条件都一样）
 其意义为对于黎曼可积的函数，当\(n\to\infty\)，级数收敛到\(f(x)\),误差趋于零。
 看到这里恐怕要问了，为什么和上面的贝塞尔等式条件一样，突然就取到等号了？
 我的老师对此的解释是……历史上先提出了贝塞尔不等式，一开始只证明了小于等于，后来才证明了相等，才有了贝塞尔不等式。